三角函数和差化积、积化和差公式推导记忆

三角函数的和差化积和积化和差公式在求积分和极限时经常出现，但公式又种类繁多，不便记忆。在此记录公式的推导过程，以便日后回顾。

和差化积#

核心代换过程

$$ \begin{cases} \alpha = \frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \beta = \frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \end{cases} $$

由此即可推导出所有和差化积公式，例如：

$$ \begin{align} &\quad\ \cos\alpha-\cos\beta\\ &=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})\\ &=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\\ &=-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}) \end{align} $$

积化和差#

核心代换过程

$$ \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)\\ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\ $$

即凑出和差角公式形式，例如：

$$ \begin{align} \sin\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\left[(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)-(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\right]\\ & =\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right] \end{align} $$